Расстояние между параллельными прямыми заданными каноническими уравнениями. Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение и примеры нахождения

В этой статье внимание нацелено на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Сначала дано определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Далее получен алгоритм, позволяющий найти расстояние между скрещивающимися прямыми. В заключении детально разобрано решение примера.

Навигация по странице.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение.

Прежде чем дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми, напомним определение скрещивающихся прямых и докажем теорему, связанную со скрещивающимися прямыми.

Определение.

– это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

В свою очередь расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью есть расстояние от некоторой точки прямой до плоскости. Тогда справедлива следующая формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Определение.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

Рассмотрим скрещивающиеся прямые a и b . Отметим на прямой a некоторую точку М 1 , через прямую b проведем плоскость , параллельную прямой a , и из точки М 1 опустим перпендикуляр М 1 H 1 на плоскость . Длина перпендикуляра M 1 H 1 есть расстояние между скрещивающимися прямыми a и b .

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми – теория, примеры, решения.

При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми основная сложность часто заключается в том, чтобы увидеть или построить отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Если такой отрезок построен, то в зависимости от условий задачи его длина может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, признаков равенства или подобия треугольников и т.п. Так мы и поступаем при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми на уроках геометрии в 10-11 классах.

Если же в трехмерном пространстве введена Oxyz и в ней заданы скрещивающиеся прямые a и b , то справиться с задачей вычисления расстояния между заданными скрещивающимися прямыми позволяет метод координат. Давайте его подробно разберем.

Пусть - плоскость, проходящая через прямую b , параллельно прямой a . Тогда искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по определению равно расстоянию от некоторой точки М 1 , лежащей на прямой a , до плоскости . Таким образом, если мы определим координаты некоторой точки М 1 , лежащей на прямой a , и получим нормальное уравнение плоскости в виде , то мы сможем вычислить расстояние от точки до плоскости по формуле (эта формула была получена в статье нахождение расстояния от точки до плоскости). А это расстояние равно искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Теперь подробно.

Задача сводится к получению координат точки М 1 , лежащей на прямой a , и к нахождению нормального уравнения плоскости .

С определением координат точки М 1 сложностей не возникает, если хорошо знать основные виды уравнений прямой в пространстве . А вот на получении уравнения плоскости стоит остановиться подробнее.

Если мы определим координаты некоторой точки М 2 , через которую проходит плоскость , а также получим нормальный вектор плоскости в виде , то мы сможем написать общее уравнение плоскости как .

В качестве точки М 2 можно взять любую точку, лежащую на прямой b , так как плоскость проходит через прямую b . Таким образом, координаты точки М 2 можно считать найденными.

Осталось получить координаты нормального вектора плоскости . Сделаем это.

Плоскость проходит через прямую b и параллельна прямой a . Следовательно, нормальный вектор плоскости перпендикулярен и направляющему вектору прямой a (обозначим его ), и направляющему вектору прямой b (обозначим его ). Тогда в качестве вектора можно взять и , то есть, . Определив координаты и направляющих векторов прямых a и b и вычислив , мы найдем координаты нормального вектора плоскости .

Итак, мы имеем общее уравнение плоскости : .

Остается только привести общее уравнение плоскости к нормальному виду и вычислить искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по формуле .

Таким образом, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b нужно:

Разберем решение примера.

Пример.

В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b . Прямую a определяют

В данной статье на примере решения задачи C2 из ЕГЭ разобран способ нахождения с помощью метода координат. Напомним, что прямые являются скрещивающи-мися, если они не лежат в одной плоскости. В частности, если одна прямая лежит в плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, которая не лежит на первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися (см. рисунок).

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо:

1. Провести через одну из скрещивающихся прямых плоскость, которая параллельна другой скрещивающейся прямой.
2. Опустить перпендикуляр из любой точки второй прямой на полученную плоскость. Длина этого перпендикуляра будет являться искомым расстоянием между прямыми.

Разберем данный алгоритм подробнее на примере решения задачи C2 из ЕГЭ по математике.

Расстояние между прямыми в пространстве

Задача. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми BA 1 и DB 1 .

Рис. 1. Чертеж к задаче

Решение. Через середину диагонали куба DB 1 (точку O ) проведем прямую, параллельную прямой A 1 B . Точки пересечения данной прямой с ребрами BC и A 1 D 1 обозначаем соответственно N и M . Прямая MN лежит в плоскости MNB 1 и параллельна прямой A 1 B , которая в этой плоскости не лежит. Это означает, что прямая A 1 B параллельна плоскости MNB 1 по признаку параллельности прямой и плоскости (рис. 2).

Рис. 2. Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки выделенной прямой до изображенной плоскости

Ищем теперь расстояние от какой-нибудь точки прямой A 1 B до плоскости MNB 1 . Это расстояние по определению будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную декартову систему координат таким образом, чтобы ее начало совпало с точкой B, ось X была направлена вдоль ребра BA , ось Y — вдоль ребра BC , ось Z — вдоль ребра BB 1 (рис. 3).

Рис. 3. Прямоугольную декартову систему координат выберем так, как показано на рисунке

Находим уравнение плоскости MNB 1 в данной системе координат. Для этого определяем сперва координаты точек M , N и B 1: Полученные координаты подставляем в общее уравнение прямой и получаем следующую систему уравнений:

Из второго уравнения системы получаем из третьего получаем после чего из первого получаем Подставляем полученные значения в общее уравнение прямой:

Замечаем, что иначе плоскость MNB 1 проходила бы через начало координат. Делим обе части этого уравнения на и получаем:

Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых (рис.1).

Теорема 1. О свойстве сторон и углов параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны равны, противоположные углы равны и сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.

Доказательство. В данном параллелограмме ABCD проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC (рис.2).

Эти треугольники равны, так как ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (накрест лежащие углы при параллельных прямых), а сторона АС общая. Из равенства Δ ABC = Δ ADC следует, что АВ = CD, ВС = AD, ∠ B = ∠ D. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, например углов А и D, равна 180° как односторонних при параллельных прямых. Теорема доказана.

Замечание. Равенство противоположных сторон параллелограмма означает, что отрезки параллельных, отсекаемых параллельными, равны.

Следствие 1. Если две прямые параллельны, то все точки одной прямой находятся на одном и том же расстоянии от другой прямой.

Доказательство. В самом деле, пусть а || b (рис.3).

Проведем из каких-нибудь двух точек В и С прямой b перпендикуляры ВА и CD к прямой а. Так как АВ || CD, то фигура ABCD - параллелограмм, и следовательно, АВ = CD.

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из прямых до другой прямой.

По доказанному оно равно длине перпендикуляра, проведенного из какой-нибудь точки одной из параллельных прямых к другой прямой.

Пример 1. Периметр параллелограмма равен 122 см. Одна из его сторон больше другой на 25 см. Найти стороны параллелограмма.

Решение. По теореме 1 противоположные стороны параллелограмма равны. Обозначим одну сторону параллелограмма через х, другую через у. Тогда по условию $$\left\{\begin{matrix} 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end{matrix}\right.$$ Решая эту систему, получим х = 43, у = 18. Таким образом, стороны параллелограмма равны 18, 43, 18 и 43 см.

Пример 2.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 4.

Обозначим АВ через х, а ВС через у. По условию периметр параллелограмма равен 10 см, т. е. 2(x + у) = 10, или х + у = 5. Периметр треугольника ABD равен 8 см. А так как АВ + AD = х + у = 5 то BD = 8 - 5 = 3 . Итак, BD = 3 см.

Пример 3. Найти углы параллелограмма, зная, что один из них больше другого на 50°.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 5.

Обозначим градусную меру угла А через х. Тогда градусная мера угла D равна х + 50°.

Углы BAD и ADC внутренние односторонние при параллельных прямых АВ и DC и секущей AD. Тогда сумма этих названных углов составит 180°, т. е.
х + х + 50° = 180°, или х = 65°. Таким образом, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Пример 4. Стороны параллелограмма равны 4,5 дм и 1,2 дм. Из вершины острого угла проведена биссектриса. На какие части делит она большую сторону параллелограмма?

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 6.

АЕ - биссектриса острого угла параллелограмма. Следовательно, ∠ 1 = ∠ 2.

Расстояние

от точки до прямой

Расстояние между параллельными прямыми

Геометрия, 7 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Длина перпендикуляра , проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

АН ⏊ а

М є а, М отлична от Н

Перпендикуляр , проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной , прове-денной из той же точки к этой прямой.

АМ – наклонная, проведенная из точки А к прямой а

АН АМ

АN - наклонная

АН АN

АН АK

АK - наклонная

Расстояние от точки до прямой

M

Расстояние от точки М до прямой с равно …

N

Расстояние от точки N до прямой с равно …

с

Расстояние от точки K до прямой с равно …

K

Расстояние от точки F до прямой с равно …

F

Расстояние от точки до прямой

АН ⏊ а

АН = 5,2 см

ВК ⏊ а

ВК = 2,8 см

Теорема.

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой

Дано: a ǁ b

А є а, В є а,

Доказать: расстояния от точек А и В до прямой а равны.

АН ⏊ b, BK ⏊ b,

Доказать: АH = BK

Δ АНК = ΔВКА (почему?)

Из равенства треугольников следует АН = ВК

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Обратная теорема.

Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

АН ⏊ b, BK ⏊ b,

АH = BK

Доказать: АВ ǁ b

Δ АНК = ΔКВА (почему?)

Из равенства треугольников следует … , но это внутренние накрест лежащие углы, образованные … , значит АВ ǁ НК

Чему равно расстояние между прямыми b и с, если расстояние между прямыми а и b равно 4, а между прямыми а и с равно 5 ?

а ǁ b ǁ c

Чему равно расстояние между прямыми b и а, если расстояние между прямыми b и с равно 7, а между прямыми а и с равно 2 ?

Чему равно расстояние между прямыми а и с, если расстояние между прямыми b и с равно 10, а между прямыми b и a равно 6 ?

Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых?

а ǁ b

Ответ: Прямая, параллельная данным прямым и находящаяся на равных расстояниях от них.

Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?

Ответ: Две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на данном расстоянии по разные стороны от неё.

 

Возможно, будет полезно почитать:

• Патриарх кирилл запретил актеру и священнику ивану охлобыстину служить в церкви Охлобыстин церковный сан ;
• Иван охлобыстин - биография, информация, личная жизнь Почему охлобыстин ушел из священников ;
• Ужин для ребенка 4 лет рецепты меню ;
• Принципы функционирования бюджетной системы РФ ;
• Особенности размещения населения на территории земли Население земли размещается равномерно средняя плотность населения ;
• Тонька-пулеметчица — cтрашная судьба страшного человека Фильм палач тонька пулеметчица реальная история ;
• Как поздравить начальницу с юбилеем? ;
• Российские студенты выиграли чемпионат мира по программированию Вот они, герои ;