Узнать объем параллелепипеда формула. Как найти объем параллелепипеда формула

Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.

У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.

Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.

Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:

  1. Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
  2. Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
  3. Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
  4. Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).

Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.

Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.

Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.

Примечание 1 . Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).

Примечание 2 . Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.

Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.

Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.

Примеры решения задач

Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.

Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.

819 Из кубиков с ребром 1 см составлены фигуры рис. 87. Найдите объемы и площади поверхностей этих фигур

820 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если а) a = 6 см, b = 10 см, c = 5 см; б) a = 30 дм, b = 20 дм, c = 30 дм; в) a = 8 дм, b = 6 м, c = 12 м; г) а = 2 дм 1 см, b = 1 дм 7 см, с = 8 см; д) а = 3 м, b = 2 дм, с = 15 см.

821 Площадь нижней грани прямоугольного параллелепипеда равна 24 см2. Определите высоту этого параллелепипеда, если его объем равен 96 см3.

822 Объем комнаты равен 60 м3. Высота комнаты 3 м, ширина 4 м. Найдите длину комнаты и площади пола, потолка, стен.

823 Найдите объем куба, ребро которого 8 дм; 3 дм 6 см.

824 Найдите объем куба, если площадь его поверхности равна 96 см2.

825 Выразите: а) в кубических сантиметрах: 5 дм3 635 см3; 2 дм3 80 см3; б) в кубических дециметрах: 6 м3 580 дм3; 7 м3 15 дм3; в) в кубических метрах и дециметрах: 3270 дм3; 12 540 000 см3.

826 Высота комнаты 3 м, ширина 5 м и длина 6 м. Сколько кубических метров воздуха находится в комнате?

827 Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько литров воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см?

828 Прямоугольный параллелепипед (рис. 88) разделен на две части Найдите объем и площадь поверхности всего параллелепипеда и обеих его частей. Равен ли объем параллелепипеда сумме объемов его частей? Можно ли это сказать о площадях их поверхностей? Объясните почему.

830 Восстановите цепочку вычислений

831 Найдите значение выражения: а)23 + 32; б)33 + 52; в) 43 + 6; г) 103 - 10.

832 Сколько десятков получится в частном: а) 1652: 7; б) 774: 6; в) 1632: 12; г) 2105: 5

833 Согласны ли вы с утверждением: а) любой куб является и прямоугольным параллелепипедом; б) если длина прямоугольного параллелепипеда не равна его высоте, то он не может быть кубом; в) каждая грань куба квадрат?

834 Четыре одинаковые бочки вмещают 26 ведер воды. Сколько ведер воды могут вместить 10 таких бочек?

835 Сколькими способами из 7 бусинок разных цветов можно составить ожерелье с застежкой?

836 Назовите в прямоугольном параллелепипеде рис. 89: а) две грани, имеющие общее ребро; б) верхнюю, заднюю, переднюю и нижнюю грани; в) вертикальные ребра.

837 Решите задачу: 1) Найдите площадь каждого участка, если площадь первого участка в 5 раз больше площади второго, а площадь второго на 252 га меньше площади первого. 2) Найдите площадь каждого участка, если площадь второго участка на 324 га больше площади первого участка, а площадь первого участка в 7 раз меньше площади второго.

838 Выполните действия: 668 · (3076 + 5081); 783 · (66 161 - 65 752); 2 111 022: (5960 - 5646); 2 045 639: (6700 - 6279)

839 На Руси в старину использовались в качестве единиц измерения объема ведра (около 12 л), штоф (десятая часть ведра). В США, Англии и других странах используются баррель (около 159 л), галлон (около 4 л), бушель (около 36 л), пинта (от 470 до 568 кубических сантиметров). Сравните эти единицы, какие из них больше 1 м3?

840 Найдите объемы фигур, изображенных на рисунке 90. Объем каждого кубика равен 1 см3.

841 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда (рис. 91)

842 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 48 дм, 16 дм и 12 дм.

843 Сарай, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, заполнен сеном. Длина сарая 10 м, ширина 6 м, высота 4 м. Найдите массу сена в сарае, если масса 10 м3 сена равна 6 ц.

844 Выразите в кубических дециметрах: 2 м3 350 дм3; 18 000 см3; 3 м3 7 дм3; 210 000 см3; 4 м3 30 дм3;

845 Объем прямоугольного параллелепипеда 1248 см3. Его длина 13 см, а ширина 8 см. Найдите высоту этого параллелепипеда.

846 С помощью формулы V = abc вычислите: а) V, если a = 3 дм, b = 4 дм, c = 5 дм; б) a, если V = 2184 см3, b = 12 см, c =13 см; в) b, если V = 9200 см3, a = 23 см, c = 25 см; г) ab если V = 1088 дм3, c = 17 см. Каков смысл произведения ab?

847 Отец старше сына на 21 год. Запишите формулу, выражающую a возраст отца через b возраст сына. Найдите по этой формуле: а) a, если b = 10; б) a, если b = 18; в) b, если a = 48.

848 Найдите значение выражения: а) 700 700 - 6054 · (47 923 - 47 884) - 65 548; б) 66 509 + 141 400: (39 839 - 39 739) + 1985; в) (851 + 2331) : 74 - 34; г) (14 084: 28 - 23) -27-12 060; д) (102 + 112 + 122) : 73 + 895; е) 2555: (132 + 142) + 35.

849 Подсчитайте по таблице (рис. 92): а) сколько раз встречается цифра 9; б) сколько раз всего в таблице встречаются цифры 6 и 7 не считая их по отдельности; в) сколько раз всего встречаются цифры 5, б и 8 не считая их по отдельности

Прямоугольник - одна из самых простых плоских фигур, а прямоугольный параллелепипед - такая же простая фигура, но в пространстве (рис. 1). Они очень похожи.

Так же похожи, как круг и шар.

Рис. 1. Прямоугольник и параллелепипед

Разговор про площади начинают с площади прямоугольника, а про объемы - с объема прямоугольного параллелепипеда.

Если мы умеем находить площадь прямоугольника, то это нам позволяет найти площадь любой фигуры.

Вот эту фигуру мы можем разбить на 3 прямоугольника и найти площадь каждого, а значит, и всей фигуры. (Рис. 2.)

Рис. 2. Фигура

Рис. 3. Фигура, площадь которой равна семи прямоугольникам

Даже если фигура не разбивается точно на прямоугольники, это можно сделать с любой точностью и площадь посчитать приблизительно.

Площадь этой фигуры (рис. 3) примерно равна сумме площадей семи прямоугольников. Неточность получается за счет верхних маленьких фигур. Если увеличить число прямоугольников, то неточность уменьшится.

То есть прямоугольник - это инструмент для вычисления площадей любых фигур.

Такая же ситуация, когда речь идет об объемах.

Любую фигуру можно выложить прямоугольными параллелепипедами, кирпичиками. Чем мельче будут эти кирпичики, тем точнее мы сможем посчитать объем (рис. 4, рис.5).

Рис. 4. Вычисление площади с помощью прямоугольных параллелепипедов

Прямоугольный параллелепипед является инструментом для вычисления объемов любых фигур.

Рис. 5. Вычисление площади с помощью маленьких параллелепипедов

Давайте немного вспомним.

Квадрат со стороной 1 единица (рис. 6) имеет площадь в 1 квадратную единицу. Исходная линейная единица может быть любой: сантиметр, метр, километр, миля.

Например, 1 см 2 - это площадь квадрата со стороной 1 см.

Рис. 6. Квадрат и прямоугольник

Площадь прямоугольника - это количество таких квадратов, которые в него поместятся. (Рис. 6.)

Уложим единичные квадраты в длину прямоугольника в один ряд. Получилось 5 штук.

В высоту помещается 3 квадрата. Значит, всего помещается три ряда, в каждом по пять квадратов.

Итого площадь равна .

Понятно, что нет нужды каждый раз внутри прямоугольника размещать единичные квадраты.

Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой.

Или в общем виде:

Очень похоже обстоят дела с объемом прямоугольного параллелепипеда.

Объем куба со стороной 1 единица - это 1 кубическая единица. Опять же, исходные линейные величины могут быть любыми: миллиметры, сантиметры, дюймы.

Например, 1 см 3 - это объем куба со стороной 1 см, а 1 км 3 - это объем куба со стороной 1 км.

Найдем объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами 7 см, 5 см, 4 см. (Рис. 7.)

Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед

Объем нашего прямоугольного параллелепипеда - это количество единичных кубов, помещающихся в него.

Уложим на дно ряд единичных кубиков со стороной 1 см вдоль длинной стороны. Поместилось 7 штук. Уже по опыту работы с прямоугольником мы знаем, что на дно поместится всего 5 таких рядов, по 7 штук в каждом. То есть всего:

Назовем это слой. Сколько таких слоев мы можем уложить друг на друга?

Это зависит от высоты. Она равна 4 см. Значит, укладывается 4 слоя в каждом по 35 штук. Всего:

А откуда у нас появилось число 35? Это 75. То есть количество кубиков мы получили перемножением длин всех трех сторон.

Но это и есть объем нашего прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: 140

Теперь мы можем записать формулу и в общем виде. (Рис. 8.)

Рис. 8. Объем параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами , , равен произведению всех трех сторон.

Если длины сторон даны в сантиметрах, то объем получится в кубических сантиметрах (см 3).

Если в метрах, то объем в кубических метрах (м 3).

Аналогично объем может быть измерен в кубических миллиметрах, километрах и т. д.

Стеклянный куб со стороной 1 м наполнен водой целиком. Какова масса воды? (Рис. 9.)

Рис. 9. Куб

Куб является единичным. Сторона - 1 м. Объем - 1 м 3 .

Если мы знаем, сколько весит 1 кубический метр воды (сокращенно говорят кубометр), то задача решена.

Но если мы этого не знаем, то нетрудно посчитать.

Длина стороны .

Посчитаем объем в дм 3 .

Но 1 дм 3 имеет отдельное название, 1 литр. То есть у нас 1000 литров воды.

Нам всем известно, что масса одного литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.

Понятно, что такой куб, наполненный водой, не под силу передвинуть ни одному обычному человеку.

Ответ: 1 т.

Рис. 10. Холодильник

Холодильник имеет высоту 2 метра, ширину 60 см и глубину 50 см. Найти его объем.

Прежде чем мы воспользуемся формулой объема - произведение длин всех сторон - необходимо перевести длины в одинаковые единицы измерения.

Мы можем перевести все в сантиметры.

Соответственно, и объем мы получим в кубических сантиметрах.

Думаю, вы согласитесь, что в кубических метрах объем более понятен.

Человек на глаз плохо отличает число с пятью нулями от числа с шестью нулями, а ведь одно в 10 раз больше, чем другое.

Часто нам нужно перевести одну единицу объема в другую. Например, кубометры в кубические дециметры. Тяжело запомнить все эти соотношения. Но этого и не нужно делать. Достаточно понять общий принцип.

Например, сколько кубических сантиметров в кубическом метре?

Давайте посмотрим, сколько кубиков со стороной 1 сантиметр поместится в куб со стороной 1 м. (Рис. 11.)

Рис. 11. Куб

В один ряд укладывается 100 штук (ведь в одном метре 100 см).

В один слой укладывается 100 рядов или кубиков.

Всего помещается 100 слоев.

Таким образом,

То есть если линейные величины связаны соотношением «в одном метре 100 см», то чтобы получить соотношение для кубических величин, нужно возвести 100 в 3 степень (). И не нужно каждый раз чертить кубы.

Объем параллелепипеда

Величина объема дает нам представление о том, какую часть пространства занимает интересующий нас объект, а чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда нужно умножить его площадь основания на высоту.

В повседневной жизни, чаще всего для измерения объема жидкости, как правило, используют такую измерительную единицу, как литр = 1дм3.

Кроме этой единицы измерения для определения объема применяют:


Параллелепипед относится к простейшим трехмерным фигурам и поэтому найти его объем не представляет никаких сложностей.



Объем параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты. Т.е. для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда, достаточно умножить все его три измерения.

Чтобы найти объем куба, нужно взять его длину и возвести в третью степень.

Определение параллелепипеда

А теперь давайте вспомним, что же такое параллелепипед и чем он отличается от куба.

Параллелепипедом называют такую объемную фигуру, в основании которой лежит многоугольник. Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников, которые являются гранями данного параллелепипеда. Поэтому логично, что параллелепипед имеет шесть граней, которые состоят из параллелограммов. Все грани этого многоугольника, которые расположены друг против друга, имеют одинаковые размеры.

Все ребра параллелепипеда и есть сторонами граней. А вот точки соприкосновения граней являются вершинами данной фигуры.



Задание:

1. Посмотрите внимательно на рисунок и скажите, что она вам напоминает?
2. Подумайте и дайте ответ, где в повседневной жизни вы можете столкнуться с такой фигурой?
3. Сколько ребер имеет параллелепипед?

Разновидности параллелепипедов

Параллелепипеды делятся на несколько разновидностей, таких как:

Прямоугольный;
Наклонный;
Куб.

К прямоугольным параллелепипедам относятся те фигуры, у которых грани состоят из прямоугольников.

Если же боковые грани не являются перпендикулярными его основанию, то перед вами наклонный параллелепипед.

Такая фигура, как куб, также является параллелепипедом. Его все без исключения грани имеют форму квадратов.

Свойства параллелепипеда

Изучаемая фигура имеет ряд свойств, о которых мы сейчас с вами узнаем:

Во-первых, противоположные грани этой фигуры равны и параллельны друг другу;

Во-вторых, он симметричен лишь относительно средины любой без исключения своей диагонали;

В-третьих, если взять и провести диагонали между всеми противоположными вершинами параллелограмма, то у них окажется всего одна точка пересечения.

В-четвертых, квадрат длинны его диагонали, равен сумме квадратов 3-х его измерений.

Историческая справка

За период разных исторических эпох в разных странах использовали различные системы измерения массы, длины и других величин. Но так как это затрудняло торговые отношения между странами, а также тормозило развитие наук, то появилась необходимость иметь единую международную систему мер, которая была бы удобна для всех стран.

Метрическая система мер СИ, которая устраивала большинство стран, была разработана во Франции. Благодаря Менделееву метрическая система мер была внедрена и в России.

Но многие профессии по сей день используют свои специфические метрики, иногда это дань традициям, иногда вопрос удобства. Так, например, моряки все еще предпочитают измерять скорость в узлах, а расстояние в милях – для них это традиция. А вот ювелиры всего мира отдают предпочтение такой единице измерения, как карат – и в их случае это и традиция и удобство.

Вопросы:

1. А кто знает, сколько метров в одной миле? А что такое один узел?
2. Почему единица измерения алмазов называется «карат»? Почему ювелирам исторически удобно измерять массу в таких единицах?
3. А кто помнит, в каких единицах измеряется нефть?

Школа - это необъятная чаша знаний, которая включает в себя множество дисциплин, которые могут заинтересовать любого ребенка. Математика - царица точных наук. Строгая и дисциплинированная, она не терпит неточностей. Даже повзрослев, в обычной жизни мы можем столкнуться с разными математическими проблемами: вычисление квадратных метров для укладки плитки в ванной, кубических метров для определения объема бака и т. д., чего уж говорить о школьниках, которые только-только начинают свой математический путь.

Очень часто, начав изучать математику, точнее, геометрию, ученики путают плоские фигуры с объемными. Куб называют квадратом, шар - кругом, параллелепипед обычным прямоугольником. И здесь есть свои тонкости.

Сложно помочь ребенку в выполнении домашнего задания, не зная точно, объем или площадь какой фигуры - плоской или же объемной, нужно найти. Невозможно найти объем плоских фигур, таких как квадрат, круг, прямоугольник. В их случае можно найти лишь площадь. Прежде чем переходить к выполнению задачи, следует подготовить нужные атрибуты:

  1. Линейка, для того чтобы измерить необходимые нам данные.
  2. Калькулятор, для того чтобы в дальнейшем подсчитать расчеты.

Для начала рассмотрим само понятие объемного прямоугольника. Это параллелепипед. В его основании находится параллелограмм. Так как таковых у него шесть, следовательно все параллелограммы являются гранями параллелепипеда.

Что касается его граней, они могут отличаться, то есть, если прямые боковые грани представляют собой прямоугольники, тогда это прямой параллелепипед, ну, а если все шесть граней являются прямоугольниками, то перед нами прямоугольный параллелепипед.

  1. После прочтения задачи, нужно определить что именно следует найти; длину фигуры, объем или же площадь.
  2. Какая именно часть фигуры рассматривается в задаче - ребро, вершина, грань, сторона, а может быть, вся фигура целиком?

Определив все поставленные задачи, можно переходить непосредственно к вычислениям. Для этого нам понадобятся специальные формулы. Итак, для того чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда перемножается между собой длина, ширина и высота (то есть толщина фигуры). Формула вычисления объема прямоугольного параллелепипеда следующая:

V=a*b*h ,

V является объемом параллелепипеда, где a - его длина b - ширина и h - высота соответственно.

Важно! Перед началом перевести все измерения в одну единицу исчисления. Ответ должен получится непременно в кубических единицах.

Пример первый

Определим объем бака для спирта, при следующих размерах:

  • длина три метра;
  • ширина два метра пятьдесят сантиметров;
  • высота триста сантиметров.

Для начала обязательно согласовываем единицы измерения и перемножаем их:

Перемножив данные, мы получим ответ в кубических метрах, то есть 3*2.5*3= 22.5 метра в кубе.

Пример второй

Шкаф имеет высоту четыре метра, ширину семьдесят сантиметров и глубину 80 сантиметров.

Зная формулу вычисления можно произвести умножение. Но не стоит торопиться, как и было сказано вначале, следует согласовать между собой единицы, то есть при желании вычислять в сантиметрах перевести все исчисления в сантиметры, ежели в метрах, то в метры. Сделаем оба варианта.

Итак, начнем с сантиметров. Переводим метры в сантиметры:

V = 400 * 70 * 80;

V = 2240000 сантиметров в кубе.

Теперь метры:

V = 4* 0.7 * 0.8;

V = 2.24 метра в кубе.

Исходя из вышеперечисленных манипуляции, очевидно, что работа с кубическими метрами более легка и понятна.

Пример третий

Дана комната, объем которой должен быть вычислен. Длина этой комнаты равна пяти метрам, ширина - трем, а высота потолка 2,5. Опять используем известную нам формулу:

V = a * b * h;

где, а длина комната и равна 5, b- ширина и равна 3 и h высота, которая равна 2.5

Так как все единицы даны в метрах, можно сразу приступать к вычислениям. Перемножая между собой a, b и h:

V = 5 * 3 * 2.5;

V = 37.5 метра в кубе.

Итак, в качестве заключения, можно сказать, что зная основные математические правила для вычисления объема или же площади фигур, а также правильно определив фигуры (плоские или же объемные), умея переводить сантиметры в метры и наоборот - можно облегчить изучение геометрии вашему ребенку, что не может не сделать этот процесс более интересным и привлекательным, ведь все накопленные знания в школе, могут быть успешно использованы в самой обычной бытовой жизни в будущем.

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

 

Возможно, будет полезно почитать: