Момент импульса относительно точки и оси вращения. Савельев И.В

Пусть дана материальная точка, имеющая импульср . Пусть её положение относительно точки О определяется радиусом-векторомr . Движение такой точки характеризуют моментом импульсаL .

Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторная величина, равная векторному произведению радиуса-вектораr и вектора импульсаp :

L =[r ,p ].

Модуль момента импульса L =rp sin, где- угол между векторамиr и р . Направление вектора момента импульса определяется по правилу правого винта.

Размерность момента импульса [L ]=кг. м 2 /с.

Момент импульса тела относительно точки равен векторной сумме моментов импульсов частиц тела относительно той же точки

L =L 1 +L 2 +…+L N .

Проекция вектора момента импульса относительно точки О на ось z , проходящую через эту точку, называетсямоментом импульса относительно оси:

L z =[r ,p ] z .

Момент импульса относительно оси является скалярной величиной.

Момент импульса тела относительно оси z равен проекции момента импульса тела относительно точки О на осьz , проходящую через эту точку.

4.3. Связь момента силы и момента импульса

Момент импульса и момент силы связаны между собой. Найдём выражение, связывающее их.

Возьмём производную по времени от выражения, определяющего момент импульса:

Член
равен нулю, так как угол между вектором скоростиd r /dt и вектором импульсар равен нулю.

Производная импульса по времени, имеющаяся во втором члене полученного выражения, равна силе (второй закон Ньютона). Поэтому можем записать полученное выражение в следующей форме:

Но [r ,F ] есть по определению момент силыF относительно той же точки О. Поэтому

т.е. скорость изменения момента импульса частицы равнамоменту силы, действующему на эту частицу.

Проекция последнего уравнения на ось z выражает связь момента импульса относительно осиz и момента силы относительно той же оси.

4.4. Основной закон динамики вращательного движения

Пусть твёрдое тело вращается относительно неподвижной оси z .

Выразим момент импульса твёрдого тела относительно оси вращения. Для этого представим твёрдое тело как совокупность элементарных масс. Момент импульса одной элементарной массы относительно осиz

Момент импульса всего тела равен сумме моментов импульсов всех элементарных масс

Скорость v у разных элементарных масс различна, а угловая скорость одинакова.

Поскольку v =r ,

Поскольку угловая скорость со одинакова для всех элементарных масс, её можно вынести за знак суммы

Введём обозначение
. С учётом этого

L z =J z . .

Ранее мы получили, что момент импульса и момент силы связаны следующим образом:

Заменив L z наJ z ωи с учётом того, чтоJ z с течением времени не изменяется, получаем

Учитывая, что производная угловой скорости по времени равна угловому ускорению , получаем

Полученное выражение - основной закон динамики вращательного движения, связывающий между собой меру внешнего воздействия - момент силы M z с результатом внешнего воздействия - угловым ускорением.

Коэффициент J z , стоящий в этом уравнении, зависит от массы тела и от того, как она распределена по объёму тела (это видно из определения величиныJ z ).

Чем меньше J z , тем большее угловое ускорение получит тело при воздействии момента силыM z . Это говорит о том, что коэффициентJ z . характеризует инертность вращающегося тела. ПоэтомуJ z называют моментом инерции тела относительно осиz .

Знание величины момента инерции тела необходимо для описания вращательного движения. Поэтому обсудим более подробно, что такое момент инерции и как его вычислить.

Момент импульса относится к фундаментальным, основополагающим законам природы. Он непосредственно связан со свойствами симметрии пространства физического мира, в котором мы все живем. Благодаря закону своего сохранения, момент импульса определяет привычные для нас физические законы перемещения материальных тел в пространстве. Данной величиной характеризуется количество поступательного или вращательного движения.

Момент импульса, также называемый "кинетическим", "угловым" и "орбитальным", является важной характеристикой, зависящей от массы материального тела, особенностей ее распределения относительно воображаемой оси обращения и скорости перемещения. Здесь следует уточнить, что в механике вращение имеет более широкую трактовку. Даже мимо некой произвольно лежащей в пространстве точки можно считать вращательным, принимая ее за воображаемую ось.

Момент импульса и законы его сохранения были сформулированы Рене Декартом применительно к поступательно движущейся системе Правда, о сохранении типа он не упоминал. Лишь столетие спустя Леонардом Эйлером, а затем другим швейцарским ученым, физиком и математиком при изучении вращения материальной системы вокруг неподвижной центральной оси был сделан вывод, что и для такого вида перемещения в пространстве действует данный закон.

Дальнейшие исследования полностью подтвердили, что при отсутствии внешнего воздействия сумма произведения массы всех точек на общую скорость системы и расстояния до центра вращения остается неизменной. Несколько позднее французским ученым Патриком Дарси эти слагаемые были выражены через площади, заметаемые радиус-векторами за одинаковый период времени. Это позволило связать момент импульса материальной точки с некоторыми известными постулатами небесной механики и, в частности, с важнейшим положением о движении планет

Момент импульса твердого тела - третья динамическая переменная, к которой применимы положения фундаментального закона сохранения. Он гласит о том, что независимо от характера и при отсутствии внешнего воздействия данная величина в изолированной материальной системе всегда будет оставаться неизменной. Этот физический показатель может подвергнуться каким-либо изменениям только в случае наличия ненулевого момента воздействующих сил.

Из данного закона также следует, что если М = 0, любое изменение расстояния между телом (системой материальных точек) и центральной осью вращения непременно вызовет увеличение или уменьшение скорости его обращения вокруг центра. Например, гимнастка, выполняющая сальто, чтобы произвести в воздухе несколько оборотов, изначально свертывает свое тело в клубок. А балерины или фигуристки, вращаясь в пируэте, разводят руки в стороны, если хотят замедлить движение, и, наоборот, прижимают их к корпусу, когда стараются кружиться с большей скоростью. Таким образом, в спорте и искусстве используются фундаментальные законы природы.

Момент импульса

Определение

Моментом импульса относительно неподвижной оси $z$ называется скалярная величина $L_{z} $, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки 0 данной оси.

Значение момента импульса $L_{z} $ не зависит от положения точки 0 на оси $z$. При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса $r_{i} $ с некоторой скоростью $v_{i} $. Скорость $v_{i} $ и импульс $m_{i} v_{i} $ перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора $m_{i} v_{i} $. Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной точки относительно оси $z$ равен:

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных его точек:

Учитывая связь между линейно и угловой скоростями ($v_{i} =\omega r_{i} $), получим следующее выражение для момента импульса тела относительно неподвижной оси:

$L_{z} =\sum _{i=1}^{n}m_{i} r_{i}^{2} \omega =\omega \sum \limits _{i=1}^{n}m_{i} r_{i}^{2} =J_{z} \omega $, (1)

т.е. момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Продифференцировав выражение (1) по времени, получим:

$\frac{dL_{z} }{dt} =J_{z} \frac{d\omega }{dt} =M_{z} $ (2)

Это еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: скорость изменения момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело.

Закон сохранения импульса

Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке, и состоит в следующем: если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.

Действительно, если:

$M=0$, то $\frac{dL}{dt} =0$,

откуда: $\overline{L}=const$. (3)

Другими словами, момент импульса замкнутой системы с течением времени не изменяется.

Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси $z$ (уравнение 2), следует закон сохранения момента импульса тела относительно оси: если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменяется в процессе движения, т.е. если $M_{z} =0$, то $\frac{dL_{z} }{dt} =0$, откуда $\overline{L}_{z} =const,$ или $J_{z} \omega =const$.(4)

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы. Справедливость этого закона обусловливается свойством симметрии пространства -- его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

Справедливы следующие выражения:

Момент инерции тела относительно оси вращения -- это физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек тела на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:
Момент инерции тела $J_{z} $ относительно любой оси вращения равен моменту его инерции $J_{c} $относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями: $J_{z} =J_{c} +ma^{2} $;
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси $z$ его кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции относительно оси вращения на квадрат угловой скорости:
Из сравнения формул $E_{k_{2@} } =\frac{J_{z} \omega ^{2} }{2} $и $E_{k} =\frac{mv^{2} }{2} $ следует, что момент инерции -- мера инертности тела при вращательном движении;
Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z (аналог второго закона Ньютона) имеет вид: $M_{z} =J_{z} \varepsilon =\frac{dL_{z} }{dt} $.

Пример

Груз массой 0,8 кг подвешен на тонкой невесомой нити, на высоте 3 м над полом. Нить намотана на сплошной однородный цилиндрический вал радиусом 30 см с моментом инерции 0,15 кг*м2. Вращаясь, вал опускает груз на пол. Определить: время опускания груза до пола, силу натяжения нити, кинетическую энергию груза в момент касания грузом пола.

$r$= 15 см=0,15м

$J_{x} $= 0,18 кг*м2

Найти: $t,N,E_{k} $-?

Отсюда, сила натяжения нити: $N=\frac{J_{x} \varepsilon }{r} =\frac{0,18\cdot 4}{0,15} =4,8H$.

Кинетическая энергия груза в момент удара об пол:

Ответ: $t=3,2A$, $N=4,8H$, $E_{k} =0,9Дж.$

Момент импульса в классической механике

Связь между импульсом и моментом

Определение

Момент импульса частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса :

где - радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, - импульс частицы.

Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

где - радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.

(В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределенной системы это может быть записано как где - импульс бесконечно малого точечного элемента системы).

Из определения момента импульса следует его аддитивность : как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется:

Замечание: в принципе момент импульса может быть вычислен относительно любого начала отсчета (получившиеся при этом разные значения связаны очевидным образом); однако чаще всего (для удобства и определенности) его вычисляют относительно центра масс или закрепленной точки вращения твердого тела итп).

Вычисление момента

Так как момент импульса определяется векторным произведением , он является псевдовектором , перпендикулярным обоим векторам и . Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его проекцию на ось вращения как скаляр , знак которого зависит от направления вращения. Если выбрана такая ось, проходящая через начало отсчёта, для вычисления проекции углового момента на неё можно указать ряд рецептов в соответствии с общими правилами нахождения векторного произведения двух векторов.

где - угол между и , определяемый так, чтобы поворот от к производился против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на положительной части оси вращения. Направление поворота важно при вычислении, так как определяет знак искомой проекции.

Запишем в виде , где - составляющая радиус-вектора, параллельная вектору импульса, а - аналогично, перпендикулярная ему. является, по сути, расстоянием от оси вращения до вектора , которое обычно называют «плечом». Аналогично можно разделить вектор импульса на две составляющие: параллельную радиус-вектору и перпендикулярную ему . Теперь, используя линейность векторного произведения, а также свойство, согласно которому произведение параллельных векторов равно нулю, можно получить ещё два выражения для .

Сохранение углового момента

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	…энергии
⊠ , , и -симметрии	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца	Относительность Лоренц-инвариантность	…4-импульса
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного) момента внешних сил:

где - момент одной из сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется).

Математически закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол , радиус-вектор частицы с номером изменятся на , а скорости - . Функция Лагранжа системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому

С учетом , где - обобщенный импульс -той частицы, каждое слагаемое в сумме из последнего выражения можно переписать в виде

Теперь, пользуясь свойством смешанного произведения , совершим циклическую перестановку векторов, в результате чего получим, вынося общий множитель:

где, - момент импульса системы. Ввиду произвольности , из равенства следует .

На орбитах момент импульса распределяется между собственным вращением планеты и момента импульса её орбитального движения:

Момент импульса в электродинамике

При описании движения заряженной частицы в электромагнитном поле , канонический импульс не является инвариантным . Как следствие, канонический момент импульса тоже не инвариантен. Тогда берем реальный импульс, который также называется «кинетическим импульсом»:

где - электрический заряд , - скорость света , - векторный потенциал . Таким образом, гамильтониан (инвариантный) заряженной частицы массы в электромагнитном поле:

где - скалярный потенциал . Из этого потенциала следует закон Лоренца. Инвариантный момент импульса или «кинетический момент импульса» определяется:

Момент импульса в квантовой механике

Оператор момента

Вычисление момента импульса в нерелятивистской механике

Если имеется материальная точка массой , двигающаяся со скоростью и находящаяся в точке, описываемой радиус-вектором , то момент импульса вычисляется по формуле:

где - знак векторного произведения .

Чтобы рассчитать момент импульса тела , его надо разбить на бесконечно малые кусочки и векторно просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл :

Можно переписать это через плотность :

а относительно неподвижной точки 0 называется физическая величина, равная векторному произведению

где - радиус-вектор проведенный из точки 0 в точку а,
- импульс материальной точки.

Направление вектора совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении отк. Модуль вектора момента импульса

где - угол между векторамии,- плечо вектораотносительно точки 0. Моментом импульса системы материальных точек относительно неподвижной точки 0 называется векторная сумма моментов импульсов всех материальных точек системы относительно той же точки 0

(22)

7. Момент импульса относительно неподвижной осиz.

Моментом импульса материальной точки а относительно неподвижной осиzназывается скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки 0 данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки 0 на осиz.

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси z(О-О 1). Каждая точка твердого тела описывает горизонтальную окружность радиусасо скоростью. Скорость.и импульс
перпендикулярны этому радиусу, поэтомурадиус является плечом вектора
(угол=90 0). Момент импульса каждой точки твердого тела относительно осиzравен

(23)

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта. Моменты импульса всех точек твердого тела будут сонаправлены, поэтому момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных частиц

то есть все точки твердого тела вращаются с одинаковой угловой скоростью, то wможно вынести за знак суммы

.
.

Момент импульса твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Лекция 6. Уравнения динамики вращательного движения.

1. Закон сохранения момента импульса.

Продифференцируем момент импульса по времени

Величина есть скорость материальной точки, связанная с ее импульсом соотношением
. Поэтому первое слагаемое
равно нулю как векторное произведение коллинеарных векторови
, (
) Второе слагаемое можно преобразовать с помощью уравнения Ньютона

. (1)

Это уравнение моментов относительно неподвижной точки. Производная по времени момента импульса материальной точки (относительно неподвижной точки) равна моменту силы относительно этой же точки.

Уравнение моментов (1) можно обобщить на случай произвольной системы материальных точек. Пусть система состоит из nматериальных точек вращающихся вокруг центра 0.

…………………….

где
- момент внутренних сил,
- момент внешних сил.

По третьему закону Ньютона
= 0, так как внутренние силы входят попарно, сила с которой одно тело действует на другое равно и противоположно направлена сила с которой второе тело действует на первое. Полный момент этих сил равен нулю (см. рис.)

Исходя из этого уравнение примет вид

где
- момент импульса системы материальных точек.

=
- момент всех сил действующих на систему материальных точек.

(2)

Основной закон динамики вращательного движения для системы материальных точек. Производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно неподвижной точки равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно этой точки .

Если момент всех внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю, то момент импульса системы относительно той же неподвижной точки остается постоянным во времени.

и
или(3)

Выражение (3) – математическая запись закона сохранения момента импульса. Если мы продифференцируем по времени момент импульса относительно неподвижной оси, то получим уравнение моментов относительно неподвижной оси

(4)

Как было показано ранее, момент импульса твердого тела относительно оси вращения равен

Если момент инерции при вращении остается постоянным, то

где
- угловое ускорение. Тогда

(5).

Произведение момента инерции твердого тела относительно оси вращения на угловое ускорение равно моменту внешних сил относительно той же оси.

Уравнение (5) – основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси. Оно напоминает уравнение Ньютона для поступательного движения.

Роль массы mиграет момент инерцииJ, роль скоростиv– угловая скоростьw, роль с илыF– момент силыM, роль импульсаp– момент импульсаL. Момент импульсаLчасто называют вращательным импульсом системы.

Если момент внешних сил M z относительно оси вращения равен нулю, то вращательный импульс сохраняется:

(6)

Продемонстрировать закон сохранения импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Скамья Жуковского представляет собой стул, сиденье которого имеет форму диска. Диск может свободно вращаться вокруг вертикальной оси на шариковых подшипниках.

Человек, оттолкнувшись ногой от пола, приводит скамью во вращение. Вместе со скамьей будет вращаться и он сам. Во время вращения момент импульса системы скамья плюс человек будет оставаться постоянным, какие бы внутренние движения не совершались в системе.

Если человек разведет руки в стороны, то он увеличит момент инерции системы J, а потому угловая скорость вращенияwдолжна уменьшиться, чтобы оставался неизменным вращательный импульсL=Jw(см рис 1а и 1б)

Рис.1а. L=J 1 w 1 Рис.1бL=J 2 w 2

J 1 w 1 =J 2 w 2 (J 2 >J 1, w 2

Если человек, стоя на неподвижной скамье Жуковского, начинает делать конические движения над головой, скамья начинает вращаться в другую сторону (рис.2).

Общий момент импульса системы остается равным нулю.

Когда винт судна начинает вращаться, по закону сохранения момента импульса системы, корпус судна должен вращаться в противоположную сторону. В обычных условиях это не страшно, но в критических ситуациях (сильная боковая волна, легкое судно) может привести к опрокидыванию судна. Эта же ситуация всегда реализуется и для вертолетов. Чтобы этого не происходило, на хвосте устанавливается другой винт для гашения вращения.

В заключении сопоставим основные величины и уравнения определяющие вращение тела им его поступательное движение.

Поступательное движение

Вращательное движение

Масса m

Скорость v = dr / dt

Ускорение a = dv / dt

Сила F

Импульс p = mv

Основное уравнение динамики F = ma

F = dp / dt

Работа dA = F ds

Кинетическая энергия mv 2 /2

Момент инерции J

Угловая скорость w = dφ / dt

Угловое ускорение ε = dw / dt

Момент силы M = Fr

Момент импульса L = Jw

Основное уравнение динамики M = Jε

M = dL / dt

Работа вращения dA = Mdφ

Кинетическая энергия вращения Jw 2 /2

Возможно, будет полезно почитать: