Более сложные примеры уравнений.

В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.

Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

Линейное уравнение — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:

Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:

Раскрыть скобки, если они есть;
Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0\cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0\cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.

А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

Примеры решения уравнений

Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
Затем свести подобные
Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

Схема решения простейших линейных уравнений

Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

Раскрываем скобки, если они есть.
Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
Приводим подобные слагаемые.
Разделяем все на коэффициент при «иксе».

Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Задача №1

На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:

\[\frac{6x}{6}=-\frac{72}{6}\]

Вот мы и получили ответ.

Задача №2

В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:

И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

Приведем подобные:

При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.

Задача №3

Третье линейное уравнение уже интересней:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:

Выполняем второй уже известный нам шаг:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Посчитаем:

Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:

\[\frac{2x}{x}=\frac{0}{2}\]

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.

Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные . А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.

Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

Решение сложных линейных уравнений

Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

Пример №1

Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:

Теперь займемся уединением:

\[-x+6{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+x=-12\]

Приводим подобные:

Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:

\[\varnothing \]

или корней нет.

Пример №2

Выполняем те же действия. Первый шаг:

Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:

Приводим подобные:

Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:

\[\varnothing \],

либо корней нет.

Нюансы решения

Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:

Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое . Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.

И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

Решение ещё более сложных линейных уравнений

То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

Задача №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21{{x}^{2}}=3\]

Давайте перемножим все элементы в первой части:

Давайте выполним уединение:

Приводим подобные:

Выполняем последний шаг:

\[\frac{-4x}{4}=\frac{4}{-4}\]

Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

Задача №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:

Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:

\[-3x-4x+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}+6x=-1\]

Приводим подобные слагаемые:

Мы вновь получили окончательный ответ.

Нюансы решения

Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

Об алгебраической сумме

На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.

Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

Раскрыть скобки.
Уединить переменные.
Привести подобные.
Разделить на коэффициент.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

Избавиться от дробей.
Раскрыть скобки.
Уединить переменные.
Привести подобные.
Разделить на коэффициент.

Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

Пример №1

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)}{4}={{x}^{2}}-1\]

Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4}{4}=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

Теперь раскроем:

Выполняем уединение переменной:

Выполняем приведение подобных слагаемых:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac{-4x}{-4}=\frac{-1}{-4}\]

Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Пример №2

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)}{5}+{{x}^{2}}=1\]

Здесь выполняем все те же действия:

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5}{5}+{{x}^{2}}\cdot 5=5\]

\[\frac{4x}{4}=\frac{4}{4}\]

Задача решена.

Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

Знать алгоритм решения линейных уравнений.
Умение раскрывать скобки.
Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!

Уравнение – это математическое выражение, являющееся равенством, содержащее неизвестное. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например: соотношение вида (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) выполняется при всех значениях x.

Если уравнение, содержащее неизвестное x, выполняется только при определенных, а не при всех значениях x, как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те значения x, при которых это уравнение справедливо. Такие значения x называются корнями или решениями уравнения. Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17.

В разделе математики, который называется теорией уравнений, основным предметом изучения являются методы решения уравнений. В школьном курсе алгебры уравнениям уделяется большое внимание.

История изучения уравнений насчитывает много веков. Самыми известными математиками, внесшими вклад в развитие теории уравнений, были:

Архимед (около 287–212 до н. э.) - древнегреческий ученый, математик и механик. При исследовании одной задачи, сводящейся к кубическому уравнению, Архимед выяснил роль характеристики, которая позже получила название дискриминанта.

Франсуа Виет жил в XVI в. Он внес большой вклад в изучение различных проблем математики. В частности, он ввел буквенные обозначения коэффициентов уравнения и установил связь между корнями квадратного уравнения.

Леонард Эйлер (1707 – 1783) - математик, механик, физик и астроном. Автор св. 800 работ по математическаму анализу, дифференциальных уравнений, геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки, и т. д. Оказал значительное влияниена развитие науки. Вывел формулы (Формулы Эйлера), выражающие тригонометрические функции переменного х через показательную функцию.

Лагранж Жозеф Луи (1736 - 1813 гг.), французский математик и механик. Ему принадлежат выдающиеся исследования, среди них исследования по алгебре (симметрической функции корней уравнения, по дифференциальным уравнениям (теория особых решений, метод вариации постоянных).

Ж. Лагранж и А. Вандермонд - французские математики. В 1771 г. впервые применили способ решения систем уравнений (способ подстановки).

Гаусс Карл Фридрих (1777 -1855 гг.) - немецкий математик. Написал книгу, в которой излагается теория уравнений деления круга (т. е. уравнений xn - 1 = 0), которая во многом была прообразом Галуа теории. Помимо общих методов решения этих уравнений, установил связь между ними и построением правильных многоугольников. Он, впервые после древнегреческих учёных, сделал значительный шаг вперёд в этом вопросе, а именно: нашёл все те значения n, для которых правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой. Изучал способ сложения. Сделал вывод, что системы уравнений можно между собой складывать, делить, и умножать.

О. И. Сомов – обогатил разные части математики важными и многочисленными трудами, среди них теория определённых алгебраических уравнений высших степеней.

Галуа Эварист (1811-1832 гг.), - французский математик. Основной его заслугой является формулировка комплекса идей, к которым он пришёл в связи с продолжением исследований о разрешимости алгебраических уравнений, начатых Ж. Лагранжем, Н. Абелем и др. , создал теорию алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным.

А. В. Погорелов (1919 – 1981 гг.) - В его творчестве связаны геометрические методы с аналитическими методами теории дифференциальных уравнений с частными производными. Его труды оказали существенное влияние также на теорию нелинейных дифференциальных уравнений.

П. Руффини - итальянский математик. Посвятил ряд работ, доказательству неразрешимости уравнения 5-й степени, систематически использует замкнутость множества подстановок.

Не смотря на то, что ученые давно изучают уравнения, науке не известно, как и когда у людей возникла необходимость использовать уравнения. Известно только, что задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали с того времени, как стали людьми. Еще 3 - 4 тысячи лет до н. э. египтяне и вавилоняне умели решать уравнения. Правило решения этих уравнений, совпадает с современным, но неизвестно, как они до этого дошли.

В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения. Уравнение первой степени с одним неизвестным можно привести всегда к виду ах + Ь = с, в котором а, Ь, с целые числа. По правилам арифметических действий ах = с - b,

Если Ь > с, то с b число отрицательное. Отрицательные числа были египтянам и многим другим более поздним народам неизвестны (равноправно с положительными числами их стали употреблять в математике только в семнадцатом веке). Для решения задач, которые мы теперь решаем уравнениями первой степени, был изобретен метод ложного положения. В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Египтяне имели особый знак для обозначения неизвестного числа, который до недавнего прошлого читали «хау» и переводили словом «куча» («куча» или «неизвестное количество» единиц). Теперь читают немного менее неточно: «ага». Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного положения. При помощи этого метода решаются уравнения вида ах = b. Этот способ заключается в том, что каждую часть уравнения делят на а. Его применяли как египтяне, так и вавилоняне. У разных народов применялся метод двух ложных положений. Арабами этот метод был механизирован и получен ту форму, в которой он перешел в учебники европейских народов, в том числе в «Арифметику» Магницкого. Магницкий называет способ решения «фальшивым правилом» и пишет в части своей книги, излагающей этот метод:

Зело бо хитра есть сия часть, Яко можеши ею все класть. Не токмо что есть во гражданстве, Но и высших наук в пространстве, Яже числятся в сфере неба, Якоже мудрым есть потреба.

Содержание стихов Магницкого можно вкратце передать так: эта часть арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то, что понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы «высшие», которые встают перед «мудрыми». Магницкий пользуется «фальшивым правилом» в форме, какую ему придали арабы, называя его «арифметикой двух ошибок» или «методой весов». Индийские математики часто давали задачи в стихах. Задача о лотосе:

Над озером тихим, с полмеры над водой, Был виден лотоса цвет. Он рос одиноко, и ветер волной Нагнул его в сторону, и уж нет

Цветка над водой. Нашёл его глаз рыбака В двух мерах от места, где рос. Сколько озера здесь вода глубока? Тебе предложу я вопрос.

Виды уравнений

Линейные уравнения

Линейные уравнения – это уравнения вида: ах + b = 0, где a и b – некоторые постоянные. Если а не равно нулю, то уравнение имеет один единственный корень: х = - b: а (ах + b; ах = - b; х = - b: а.).

Например: решить линейное уравнение: 4х + 12 = 0.

Решение: Т. к а = 4, а b = 12, то х = - 12: 4; х = - 3.

Проверка: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Т. к 0 = 0, то -3 является корнем исходного уравнения.

Ответ. х = -3

Если а равно нулю, и b равно нулю, то корнем уравнения ах + b = 0 является любое число.

Например:

0 = 0. Т. к 0 равно 0, то корнем уравнения 0х + 0 = 0 является любое число.

Если а равно нулю, а b не равно нулю, то уравнение ах + b = 0 не имеет корней.

Например:

0 = 6. Т. к 0 не равно 6, то 0х – 6 = 0 не имеет корней.

Системы линейных уравнений.

Система линейных уравнений – это система, все уравнения которой линейные.

Решить систему - значит найти все ее решения.

Прежде чем решать систему линейных уравнений, можно определить число её решений.

Пусть дана система уравнений: {а1х + b1y = с1, {а2х + b2y = c2.

Если а1 делённое на а2 не равно b1 делённое на b2, то система имеет одно единственное решение.

Если а1 делённое на а2 равно b1 делённое на b2, но равно с1 делённое на с2, то система не имеет решений.

Если а1 делённое на а2 равно b1 делённое на b2, и равно с1 делённое на с2, то система имеет бесконечно много решений.

Система уравнений, имеющая, по крайней мере, одно решение, называется совместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если множество ее решений бесконечно.

Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной или противоречивой.

Способы решения линейных уравнений

Всего есть несколько способов решения линейных уравнений:

1) Метод подбора. Это самый простейший способ. Он заключается в том, что подбирают все допустимые значения неизвестного путём перечисления.

Например:

Решить уравнение.

Пусть х = 1. Тогда

4 = 6. Т. к 4 не равно 6, то наше предположение, что х = 1 было неверным.

Пусть х = 2.

6 = 6. Т. к 6 равно 6, то наше предположение, что х = 2 было верным.

Ответ: х = 2.

2) Способ упрощения

Этот способ заключается в том, что все члены содержащие неизвестное переносим в левую часть, а известные в правую с противоположным знаком, приводим подобные, и делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Например:

Решить уравнение.

5х – 4 = 11 + 2х;

5х – 2х = 11 + 4;

3х = 15; : (3) х = 5.

Ответ. х = 5.

3) Графический способ.

Он заключается в том, что строится график функций данного уравнения. Т. к в линейном уравнение у = 0, то график будет параллелен оси ординат. Точка пересечения графика с осью абсцисс будет решением данного уравнения.

Например:

Решить уравнение.

Пусть у = 7. Тогда у = 2х + 3.

Построим график функций обоих уравнений:

Способы решения систем линейных уравнений

В седьмом классе изучают три способа решения систем уравнений:

1) Способ подстановки.

Этот способ заключается в том, что в одном из уравнений выражают одно неизвестное через другое. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, которое после этого обращается в уравнение с одним неизвестным, затем решают его. Получившееся значение этого неизвестного подставляют в любое уравнение исходной системы и находят значение второго неизвестного.

Например.

Решить систему уравнений.

5х - 2у - 2 = 1.

3х + у = 4; у = 4 - 3х.

Подставим полученное выражение в другое уравнение:

5х – 2(4 – 3х) -2 = 1;

5х – 8 + 6х = 1 + 2;

11х = 11; : (11) х = 1.

Подставим полученное значение в уравнение 3х + у = 4.

3 · 1 + у = 4;

3 + у = 4; у = 4 – 3; у = 1.

Проверка.

/3 · 1 + 1 = 4,

\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1;

Ответ: х = 1; у = 1.

2) Способ сложения.

Этот способ заключается в том, что если данная система состоит из уравнений, которые при почленном сложении образуют уравнение с одним неизвестным, то решив это уравнение, мы получим значение одного из неизвестных. Получившееся значение этого неизвестного подставляют в любое уравнение исходной системы и находят значение второго неизвестного.

Например:

Решить систему уравнений.

/3у – 2х = 5,

\5х – 3у = 4.

Решим полученное уравнение.

3х = 9; : (3) х = 3.

Подставим полученное значение в уравнение 3у – 2х = 5.

3у – 2 · 3 = 5;

3у = 11; : (3) у = 11/3; у = 3 2/3.

Итак, х = 3; у = 3 2/3.

Проверка.

/3 · 11/3 – 2 · 3 = 5,

\5 · 3 – 3 · 11/ 3 = 4;

Ответ. х = 3; у = 3 2/3

3) Графический способ.

Этот способ основан на том, что в одной системе координат строятся графики уравнений. Если графики уравнения пересекаются, то координаты точки пересечения являются решением данной системы. Если графики уравнения являются параллельными прямыми, то данная система не имеет решений. Если графики уравнений сольются в одну прямую, то система имеет бесконечно много решений.

Например.

Решить систему уравнений.

18х + 3у - 1 = 8.

2х - у = 5; 18х + 3y - 1 = 8;

У = 5 - 2х; 3у = 9 - 18х; : (3) у = 2х - 5. у = 3 - 6х.

Построим графики функций у = 2х - 5 и у = 3 - 6х на одной системе координат.

Графики функций у = 2х - 5 и у = 3 - 6х пересекаются в точке А (1; -3).

Следовательно решением данной системы уравнений будет х = 1 и у = -3.

Проверка.

2 · 1 - (- 3) = 5,

18 · 1 + 3 · (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Ответ. х = 1; у = -3.

Заключение

На основании всего выше изложенного можно сделать вывод, что уравнения необходимы в современном мире не только для решения практических задач, но и в качестве научного инструмента. Поэтому так много ученых изучали этот вопрос и продолжают изучать.

Математические уравнения не только полезны - они также могут быть и красивы. И многие ученые признают, что они часто любят определенные формулы не только за их функциональность, но еще и за их форму, некую особую поэтичность. Есть те уравнения, которые известны на весь мир, как, например, E = mc^2. Другие не столь широко распространены, но красота уравнения не зависит от его популярности.

Общая теория относительности

Уравнение, описанное выше, было сформулировано Альбертом Эйнштейном в 1915 году как часть инновационной общей теории относительности. Теория на самом деле произвела революцию в мире науки. Это удивительно, как одним уравнением можно описать абсолютно все, что есть вокруг, в том числе пространство и время. Весь истинный гений Эйнштейна воплощен в нем. Это очень элегантное уравнение, которое кратко описывает, как все вокруг вас связано - например, как присутствие Солнца в галактике искривляет пространство и время так, чтобы Земля вращалась вокруг него.

Стандартная модель

Стандартная модель - это еще одна из важнейших теорий физики, в ней описываются все элементарные частицы, из которых состоит вселенная. Существуют различные уравнения, способные описать эту теорию, однако чаще всего пользуются уравнением Лагранжа, французского математика и астронома 18 века. Он успешно описал абсолютно все частицы и силы, которые на них воздействуют, за исключением гравитации. Это также включает недавно открытый бозон Хиггса. Оно в полной мере сочетается с квантовой механикой и общей теорией относительности.

Математический анализ

В то время как первые два уравнения описывают конкретные аспекты вселенной, данное уравнение может быть использовано во всех возможных ситуациях. Фундаментальная теорема математического анализа формирует основу математического метода, известного как исчисление, и связывает две свои основные идеи - концепцию интеграла и понятие производной. Зародился математический анализ еще в древности, однако все теории были собраны воедино Исааком Ньютоном в 17 веке - он использовал их для вычисления и описания движения планет вокруг Солнца.

Теорема Пифагора

Старым добрым известным всем уравнением выражается знаменитая теорема Пифагора, которую учат все школьники на уроках геометрии. Это формула описывает, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы, самой длинной из всех сторон (c), равен сумме квадратов двух других сторон, катетов (a и b). В итоге, уравнение выглядит следующим образом: a^2 + b^2 = c^2. Эта теорема удивляет многих начинающих математиков и физиков, когда они только учатся в школе и еще не знают, что им готовит новый мир.

1 = 0.999999999….

Это простое уравнение указывает на то, что число 0.999 с бесконечным количеством девяток после запятой, на самом деле, равно единице. Это уравнение замечательно тем, что оно крайне простое, невероятно наглядное, но все же умудряется удивить и поразить многих. Некоторые люди не могут поверить в то, что это на самом деле так. Более того, красиво и само по себе уравнение - левая его часть представляет собой простейшую основу математики, а правая скрывает в себе тайны и загадки бесконечности.

Специальная теория относительности

Альберт Эйнштейн снова попадает в список, на этот раз со своей специальной теорией относительности, которая описывает, как время и пространство являются не абсолютными понятиями, а относительными - к скорости смотрящего. Это уравнение показывает, как время «расширяется», тем сильнее замедляясь, чем быстрее человек движется. На самом деле, уравнение не является таким уж сложным, простые производные, линейная алгебра. Однако то, что оно собой воплощает, представляет абсолютно новый способ смотреть на мир.

Уравнение Эйлера

Эта простая формула включает в себя основные знания о природе сфер. Она говорит о том, что если вы разрезаете сферу и получаете грани, ребра и вершины, то если F принять за число граней, E - за число ребер, а V - за число вершин, то вы всегда получите одно и то же: V - E + F = 2. Именно так и выглядит данное уравнение. Поражает то, что какую бы сферическую форму вы ни взяли - будь-то тетраэдр, пирамида или любая другая комбинация граней, ребер и вершин, у вас всегда получится одинаковый результат. Эта комбинаторика рассказывает людям нечто фундаментальное о сферических формах.

Уравнение Эйлера-Лагранжа и теорема Нетер

Эти понятия являются довольно абстрактными, но очень сильными. Самое интересное заключается в том, что данный новый способ мышления о физике смог пережить несколько революций в данной науке, таких как открытие квантовой механики, теории относительности и так далее. Здесь L означает уравнение Лагранжа, которое является мерой энергии в физической системе. А решение этого уравнения расскажет вам о том, как конкретная система будет развиваться с течением времени. Вариантом уравнения Лагранжа является теорема Нетер, которая является фундаментальной для физики и роли симметрии. Суть теоремы заключается в том, что если ваша система симметрична, то в ней действует соответствующий закон сохранения. Собственно говоря, главная идея этой теоремы заключается в том, что законы физики действуют повсеместно.

Уравнение ренормгруппы

Это уравнение также называется по имени его создателей, уравнением Каллана-Симанчика. Оно является жизненно важным базовым уравнением, написанным в 1970 году. Оно служит для того, чтобы продемонстрировать, как наивные ожидания рушатся в квантовом мире. Уравнение также имеет множество приложений, позволяющих оценить массу и размер протона и нейтрона, которые составляют ядро атома.

Уравнение минимальной поверхности

Данное уравнение невероятным образом вычисляет и кодирует те самые красивые мыльные пленки, которые образуются на проволоке, когда ее окунают в мыльную воду. Данное уравнение, однако, сильно отличается от привычных линейных уравнений из той же области, например, уравнения тепла, образования волн и так далее. Это уравнение - нелинейно, оно включает в себя воздействие сторонних сил и производных продуктов.

Прямая Эйлера

Возьмите любой треугольник, нарисуйте наименьший круг, который может включить в себя треугольник, и отыщите его центр. Найдите центр массы треугольника - ту точку, которая позволила бы треугольнику балансировать, например, на острие карандаша, если бы его можно было вырезать из бумаги. Нарисуйте три высоты этого треугольника (линии, которые были бы перпендикулярны тем сторонам треугольника, от которых они рисуются) и найдите точку их пересечения. Суть теоремы заключается в том, что все три точки будут находиться на одной прямой, именно это и есть прямая Эйлера. Теорема заключает в себе всю красоту и мощь математики, открывая удивительные закономерности в самых простых вещах.

И т.п., логично познакомиться с уравнениями и других видов. Следующими по очереди идут линейные уравнения , целенаправленное изучение которых начинается на уроках алгебры в 7 классе.

Понятно, что сначала надо объяснить, что такое линейное уравнение, дать определение линейного уравнения, его коэффициентов, показать его общий вид. Дальше можно разбираться, сколько решений имеет линейное уравнение в зависимости от значений коэффициентов, и как находятся корни. Это позволит перейти к решению примеров, и тем самым закрепить изученную теорию. В этой статье мы это сделаем: детально остановимся на всех теоретических и практических моментах, касающихся линейных уравнений и их решения.

Сразу скажем, что здесь мы будем рассматривать только линейные уравнения с одной переменной, а уже в отдельной статье будем изучать принципы решения линейных уравнений с двумя переменными .

Навигация по странице.

Что такое линейное уравнение?

Определение линейного уравнения дается по виду его записи. Причем в разных учебниках математики и алгебры формулировки определений линейных уравнений имеют некоторые различия, не влияющие на суть вопроса.

Например, в учебнике алгебры для 7 класса Ю. Н. Макарычева и др. линейное уравнение определяется следующим образом:

Определение.

Уравнение вида a·x=b , где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной .

Приведем примеры линейных уравнений, отвечающие озвученному определению. Например, 5·x=10 – это линейное уравнение с одной переменной x , здесь коэффициент a равен 5 , а число b есть 10 . Другой пример: −2,3·y=0 – это тоже линейное уравнение, но с переменной y , в котором a=−2,3 и b=0 . А в линейных уравнениях x=−2 и −x=3,33 a не присутствуют в явном виде и равны 1 и −1 соответственно, при этом в первом уравнении b=−2 , а во втором - b=3,33 .

А годом ранее в учебнике математики Виленкина Н. Я. линейными уравнениями с одним неизвестным помимо уравнений вида a·x=b считали и уравнения, которые можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также с помощью приведения подобных слагаемых. Согласно этому определению, уравнения вида 5·x=2·x+6 , и т.п. тоже линейные.

В свою очередь в учебнике алгебры для 7 классов А. Г. Мордковича дается такое определение:

Определение.

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a·x+b=0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

К примеру, линейными уравнениями такого вида являются 2·x−12=0 , здесь коэффициент a равен 2 , а b – равен −12 , и 0,2·y+4,6=0 с коэффициентами a=0,2 и b=4,6 . Но в тоже время там приводятся примеры линейных уравнений, имеющие вид не a·x+b=0 , а a·x=b , например, 3·x=12 .

Давайте, чтобы у нас в дальнейшем не было разночтений, под линейным уравнениями с одной переменной x и коэффициентами a и b будем понимать уравнение вида a·x+b=0 . Такой вид линейного уравнения представляется наиболее оправданным, так как линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А все остальные указанные выше уравнения, а также уравнения, которые с помощью равносильных преобразований приводятся к виду a·x+b=0 , будем называть уравнениями, сводящимися к линейным уравнениям . При таком подходе уравнение 2·x+6=0 – это линейное уравнение, а 2·x=−6 , 4+25·y=6+24·y , 4·(x+5)=12 и т.п. – это уравнения, сводящиеся к линейным.

Как решать линейные уравнения?

Теперь пришло время разобраться, как решаются линейные уравнения a·x+b=0 . Другими словами, пора узнать, имеет ли линейное уравнение корни, и если имеет, то сколько их и как их найти.

Наличие корней линейного уравнения зависит от значений коэффициентов a и b . При этом линейное уравнение a·x+b=0 имеет

единственный корень при a≠0 ,
не имеет корней при a=0 и b≠0 ,
имеет бесконечно много корней при a=0 и b=0 , в этом случае любое число является корнем линейного уравнения.

Поясним, как были получены эти результаты.

Мы знаем, что для решения уравнений можно переходить от исходного уравнения к равносильным уравнениям , то есть, к уравнениям с теми же корнями или также как и исходное, не имеющим корней. Для этого можно использовать следующие равносильные преобразования:

перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком,
а также умножение или деление обе частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Итак, в линейном уравнении с одной переменной вида a·x+b=0 мы можем перенести слагаемое b из левой части в правую часть с противоположным знаком. При этом уравнение примет вид a·x=−b .

А дальше напрашивается деление обеих частей уравнения на число a. Но есть одно но: число a может быть равно нулю, в этом случае такое деление невозможно. Чтобы справиться с этой проблемой, сначала будем считать, что число a отлично от нуля, а случай равного нулю a рассмотрим отдельно чуть позже.

Итак, когда a не равно нулю, то мы можем обе части уравнения a·x=−b разделить на a , после этого оно преобразуется к виду x=(−b):a , этот результат можно записать с использованием дробной черты как .

Таким образом, при a≠0 линейное уравнение a·x+b=0 равносильно уравнению , откуда виден его корень .

Несложно показать, что этот корень единственный, то есть, линейное уравнение не имеет других корней. Это позволяет сделать метод от противного.

Обозначим корень как x 1 . Предположим, что существует еще один корень линейного уравнения, который обозначим x 2 , причем x 2 ≠x 1 , что в силу определения равных чисел через разность эквивалентно условию x 1 −x 2 ≠0 . Так как x 1 и x 2 корни линейного уравнения a·x+b=0 , то имеют место числовые равенства a·x 1 +b=0 и a·x 2 +b=0 . Мы можем выполнить вычитание соответствующих частей этих равенств, что нам позволяют сделать свойства числовых равенств , имеем a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0 , откуда a·(x 1 −x 2)+(b−b)=0 и дальше a·(x 1 −x 2)=0 . А это равенство невозможно, так как и a≠0 и x 1 −x 2 ≠0 . Так мы пришли к противоречию, что доказывает единственность корня линейного уравнения a·x+b=0 при a≠0 .

Так мы решили линейное уравнение a·x+b=0 при a≠0 . Первый результат, приведенный в начале этого пункта, обоснован. Остались еще два, отвечающие условию a=0 .

При a=0 линейное уравнение a·x+b=0 принимает вид 0·x+b=0 . Из этого уравнения и свойства умножения чисел на нуль следует, что какое бы число мы не взяли в качестве x , при его подстановке в уравнение 0·x+b=0 получится числовое равенство b=0 . Это равенство верное, когда b=0 , а в остальных случаях при b≠0 это равенство неверное.

Следовательно, при a=0 и b=0 любое число является корнем линейного уравнения a·x+b=0 , так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа дает верное числовое равенство 0=0 . А при a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа приводит к неверному числовому равенству b=0 .

Приведенные обоснования позволяют сформировать последовательность действий, позволяющую решить любое линейное уравнение. Итак, алгоритм решения линейного уравнения таков:

Сначала по записи линейного уравнения находим значения коэффициентов a и b .
Если a=0 и b=0 , то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.
Если же a отлично от нуля, то

коэффициент b переносится в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a·x=−b ,
после чего обе части полученного уравнения делятся на отличное от нуля число a , что и дает искомый корень исходного линейного уравнения .

Записанный алгоритм является исчерпывающим ответом на вопрос, как решать линейные уравнения.

В заключение этого пункта стоит сказать, что похожий алгоритм применяется для решения уравнений вида a·x=b . Его отличие состоит в том, что при a≠0 сразу выполняется деление обеих частей уравнения на это число, здесь b уже находится в нужной части уравнения и не нужно осуществлять его перенос.

Для решения уравнений вида a·x=b применяется такой алгоритм:

Если a=0 и b=0 , то уравнение имеет бесконечно много корней, которыми являются любые числа.
Если a=0 и b≠0 , то исходное уравнение не имеет корней.
Если же a отлично от нуля, то обе части уравнения делятся на отличное от нуля число a , откуда находится единственный корень уравнения, равный b/a .

Примеры решения линейных уравнений

Переходим к практике. Разберем, как применяется алгоритм решения линейных уравнений. Приведем решения характерных примеров, соответствующих различным значениям коэффициентов линейных уравнений.

Пример.

Решите линейное уравнение 0·x−0=0 .

Решение.

В этом линейном уравнении a=0 и b=−0 , что то же самое, b=0 . Следовательно, это уравнение имеет бесконечно много корней, любое число является корнем этого уравнения.

Ответ:

x – любое число.

Пример.

Имеет ли решения линейное уравнение 0·x+2,7=0 ?

Решение.

В данном случае коэффициент a равен нулю, а коэффициент b этого линейного уравнения равен 2,7 , то есть, отличен от нуля. Поэтому, линейное уравнение не имеет корней.

Возможно, будет полезно почитать: